אפיגרף (מתמטיקה)

פונקציה (בשחור) והאפיגרף שלה (בירוק)

במתמטיקה, היפוגרף של פונקציה $f:{\mathbb{ℝ}}^n\to \mathbb{ℝ}$ הוא קבוצה של הנקודות הנמצאות מעל גרף הפונקציה או עליו:

$\text{epi}f=\{(x,\mu ):x\in {\mathbb{ℝ}}^n,\mu \in \mathbb{ℝ},\mu \ge f(x)\}\subseteq {\mathbb{ℝ}}^{n+1}$

האפיגרף המוגבל הוא האפיגרף ללא הגרף עצמו:

${\text{epi}}_{S}f=\{(x,\mu ):x\in {\mathbb{ℝ}}^n,\mu \in \mathbb{ℝ},\mu >f(x)\}\subseteq {\mathbb{ℝ}}^{n+1}$

הגדרה זהה קיימת לפונקציה שערכיה מהתחום $\mathbb{ℝ}\cup \mathrm{\infty }$ , ובמקרה זה, האפיגרף הוא הקבוצה הריקה אם ורק אם $f$ זהה לאינסוף ($f\equiv -\mathrm{\infty }$). אפשר גם להגדיר את האפיגרף כאשר התמונה היא כל מרחב וקטורי. בצורה דומה, אפשר להגדיר את קבוצת הנקודות שמתחת לגרף, שהיא ההיפוגרף.

מאפיינים של האפיגרף הם:

• פונקציה היא קמורה אם ורק אם האפיגרף שלה הוא קבוצה קמורה.
• פונקציה היא פונקציה רציפה למחצה אם ורק אם האפיגרף של הוא קבוצה סגורה.