משפט הערך הממוצע של קושי

המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק למסילה $(f(t),g(t))$ המקביל לישר המחבר את $(f(a),g(a))$ עם $(f(b),g(b))$

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.

ניסוח פורמלי

תהיינה $f,g$ פונקציות רציפות בקטע $[a,b]$ וגזירות בקטע $(a,b)$ ומתקיים $g^{\prime }(x)\ne 0$ (ולכן לפי משפט רול $g(a)\ne g(b)$).

אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ .

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא המקרה $g(t)=t$ .

הוכחה

ראשית נשים לב כי אם $g(a)=g(b)$ אזי על-פי משפט רול קיימת נקודה $x\in (a,b)$ עבורה $g^{\prime }(x)=0$ , וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח $g(a)\ne g(b)$ .

תהי $y(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$ משוואת הישר העובר בנקודות $(g(a),f(a)),(g(b),f(b))$ .

זוהי פונקציה רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה $y^{\prime }(x)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ .

נגדיר פונקציה נוספת $h(x)=f(x)-y(x)$ . זוהי פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ כהפרש פונקציות רציפות, גזירה בקטע $(a,b)$ כהפרש פונקציות גזירות, ומקיימת $h(a)=h(b)=0$ .

$h(x)$ מקיימת את שלושת תנאי משפט רול, לפיכך קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $h^{\prime }(c)=0$ .

$$h^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-y^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(c)=0\Rightarrow \frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)},g^{\prime }(c)\ne 0$$

דוגמה ומסקנה במקרה הפרטי של שתי פונקציות לינאריות

כדי להמחיש את קיום המשפט, נדגים מקרה פרטי פשוט:

שתי פונקציות $f(x),g(x)$ לינאריות בקטע $[a,b]$ . נסמן $\mathrm{\forall }x\in [a,b]:f^{\prime }(x)=m,g^{\prime }(x)=n$ ונדרוש בהתאם לדרישות המשפט: $n\ne 0$ .

מאחר שבחרנו $f(x),g(x)$ בעלות נגזרת קבועה בקטע, אזי על-פי המשפט מתקיים:

$\frac{m}{n}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

ממשוואת הקו הישר נובע:

$f(b)-f(a)=m(b-a)$

ובאותו אופן:

$g(b)-g(a)=n(b-a)$

ומכאן קל לראות כי: $\frac{m}{n}=\frac{m(b-a)}{n(b-a)}$ מתקיים.

מהדוגמה ניתן לראות שמשפט הערך הממוצע של קושי, במקרה הפרטי של שתי פונקציות לינאריות בקטע מסוים, אומר שיחס שיפועי הפונקציות זהה ליחס גדילת הפונקציות לאורך הקטע.