כלל השרשרת

בחשבון אינפיניטסימלי, כלל השרשרת הוא כלל המאפשר למצוא את הנגזרת של פונקציה המורכבת ממספר פונקציות אחרות.

ניסוח פורמלי

המקרה הפרטי של פונקציות סקלריות

הגרסה הנפוצה ביותר של כלל השרשרת היא זו שעוסקת בהרכבה של פונקציה סקלרית ממשית במשתנה יחיד על פונקציה סקלרית ממשית נוספת במשתנה יחיד.

תהיינה $f,g:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ פונקציות, כך שתחום ההגדרה של $f$ מקיים שהטווח של $g$ חלקי לו, וכך ששתיהן גזירות בתחום ההגדרה שלהן. אז גם הפונקציה המורכבת $h(x)=f(g(x))$ גזירה בתחום ההגדרה שלה, ומתקיים $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$ .

כלומר, הנגזרת של $h$ בנקודה כלשהי היא מכפלת הנגזרות של $f,g$ , כאשר $g^{\prime }$ מחושבת בנקודה, ואילו $f^{\prime }$ מחושבת בתמונת הנקודה על פי $g$ .

סגנון כתיבה מקובל אחר (שמיוחס ללייבניץ) לכלל השרשרת הוא באמצעות הסימון $\frac{dh}{dx}$ : ניתן לכתוב $\frac{dh}{dx}=\frac{dh}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}$. כלומר, לכאורה "מצמצמים" דיפרנציאלים (אולם בפועל מדובר בסימון בלבד, שמקל על זכירת הנוסחה).

מקרה כללי של פונקציות ממשיות

בצורתו הכללית, שתקפה גם לפונקציות וקטוריות של מספר משתנים, כלל השרשרת בעצם אומר: שהדיפרנציאל של פונקציה מורכבת – היא הרכבת הדיפרנציאלים של הפונקציות שמרכיבות אותה. זאת תחת דרישת הגזירות.

אם הפונקציה $f$ גזירה בנקודה $x$ והפונקציה $g$ גזירה בנקודה $f(x)$ , אז:

$D_x(g\circ f)=D_{f(x)}(g)\circ D_x(f)$

כאשר $D_x$ הדיפרנציאל בנקודה $x$ .

כלל השרשרת בנוגע לפונקציות מרובות משתנים

$\frac{\partial f(x(t),y(t))}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$

הוכחה

לפי הגדרת הנגזרת, עלינו לחשב את $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}$

נניח קודם כל, כי יש סביבה $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-x_0|<\delta$ מתקיים $g(x)\ne g(x_0)$ . נכפיל מונה ומכנה בביטוי $g(x)-g(x_0)$ ונקבל:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)}\cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$

על פי הגדרת הנגזרת, המוכפל השמאלי שווה לנגזרת של f לפי g והמוכפל הימני לנגזרת של g.

ההוכחה הזו לא עובדת למשל בפונקציה $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)& :x\ne 0\\ 0& :x=0\end{array}$ בנקודה $x_0=0$ . אף שהיא גזירה שם, בכל סביבה של 0 יש נקודה $c$ בה $f(0)=f(c)=0$ .

כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר:

$F(g(x))=\{\begin{array}{ll}\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)}& :g(x)\ne g(x_0)\\ \\ \lim {}_{x\to x_0}\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{g(x)-g(x_0)}& :g(x)=g(x_0)\end{array}$

כעת נחשב את הגבול

$\underset{x\to x_0}{\lim }F(g(x))\cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}$

חישוב זה יתן לנו את התוצאה הרצויה כיוון שמתקיים תמיד:

$F(g(x))\cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(g(x))-f(g(x_0))}{x-x_0}$

ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים – כאשר $g(x)=g(x_0)$ שני צדי המשוואה מתאפסים, וכאשר $g(x)\ne g(x_0)$ המכנה בהגדרת $F$ מצטמצם עם המונה בשבר הימני.

כיוון ש־$f$ גזירה בנקודה $g(x_0)$ אזי $F$ רציפה שם, ולכן מתוך אריתמטיקה של גבולות נקבל את התוצאה הרצויה.

דוגמה

נרצה לגזור את הפונקציה h(x) = (x² + 1)³.

נשים לב כי $h(x)=f(g(x))$ עם $g(x)=1+x^2$ ו- $f(x)=x^3$ ולכן מכלל השרשרת:

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(g(x))=3(1+x^2{)}^2$

$g^{\prime }(x)=2x$

וע"י הצבה נקבל:

$h^{\prime }(x)=3(1+x^2{)}^2\cdot 2x$