מרחב וקטורי

באלגברה לינארית, מרחב וקטורי הוא מערכת מתמטית מעל שדה, שאבריה - הקרויים וקטורים - ניתנים לחיבור ולכפל בסקלר. למשל, אוסף הפתרונות למערכת משוואות הומוגנית הוא מרחב וקטורי.

בהנחת אקסיומת הבחירה, לכל מרחב וקטורי יש בסיס. כל הבסיסים של אותו מרחב וקטורי הם בעלי אותו גודל, שהוא הממד של המרחב. הממד הוא המאפיין היחיד של מרחב וקטורי: כל שני מרחבים בעלי אותו ממד הם איזומורפיים זה לזה.

הגדרה פורמלית

חבורה אבלית $\ V$ ביחס לחיבור, היא מרחב וקטורי מעל השדה $\ \mathbb {F}$ , אם מוגדרת פעולת כפל סקלרי $\ \mathbb {F} \times V\rightarrow V$, שמסמנים ב-$\ (\alpha ,v)\mapsto \alpha \cdot v$, כך שמתקיימות האקסיומות

1. לכל $\ v$ ב-$\ V$ מתקיים $\ 1\cdot v=v$ .
2. אסוציאטיביות של כפל סקלרים בווקטור (חוק הקיבּוץ): לכל $\ \alpha ,\beta \in \mathbb {F}$ ולכל $\ v\in V$ מתקיים $\ (\alpha \cdot \beta )\cdot v=\alpha \cdot (\beta \cdot v)$ .
3. דיסטריבוטיביות של סקלרים (חוק הפילוג לסקלרים): לכל $\ \alpha ,\beta \in \mathbb {F}$ ולכל $\ v\in V$ מתקיים $\ (\alpha +\beta )\cdot v=\alpha \cdot v+\beta \cdot v$ .
4. דיסטריבוטיביות של וקטורים (חוק הפילוג לווקטורים): לכל $\ u,v\in V$ ולכל $\ \alpha \in \mathbb {F}$ מתקיים $\ \alpha \cdot (u+v)=\alpha \cdot u+\alpha \cdot v$ .

דרישת החילופיות של החיבור ב-V נובעת משאר האקסיומות (כפי שניתן לראות אם מפתחים את הביטוי $(1+1)(u+v)$ , פעם אחת לפי דיסטריבוטיביות של סקלרים, ופעם שנייה לפי דיסטריבוטיביות של וקטורים). ובכל זאת נהוג לציינה לשם הנוחות.

סימונים

לעיתים וקטורים מסומנים בסימון מיוחד כדי להבדילם מסקלרים, למשל וקטור $u\in V$ יסומן באחת מהאפשרויות הבאות:

${\underline {u}}\ ,\ {\overline {u}}\ ,\ {\vec {u}}\ ,\ \mathbf {u}$

כאשר הסימון האחרון (עם האות המודגשת) נפוץ בספרי לימוד ואילו הסימון עם החץ נפוץ בהרצאות, בהן קשה לכתוב אותיות מודגשות על הלוח.

דוגמאות

• המרחב $\mathbb {F} ^{n}$ של n-יות המורכבות מאיברים בשדה $\ \mathbb {F}$ כלשהו, כאשר החיבור הוא לפי קואורדינטות (חיבור איבר־איבר) וכך גם הכפל בסקלר. בפרט:

$(x_{1},...,x_{n})+(y_{1},...,y_{n})=(x_{1}+y_{1},...,x_{n}+y_{n})$ ו-$c\cdot (x_{1},...,x_{n})=(cx_{1},...,cx_{n})$

האיבר הנייטרלי לחיבור הוא ${\vec {0}}=(0,...,0)$ .

• • המרחב $\mathbb {R} ^{n}$ של $n$־יות מספרים ממשיים מעל שדה הממשיים.
  • המרחב האוקלידי התלת־ממדי מעל שדה הממשיים. זהו גם מרחב מכפלה פנימית ביחס למכפלה הסקלרית הסטנדרטית.
• מרחב הפונקציות הממשיות מעל שדה הממשיים.
  • מרחב הפולינומים מעל שדה F. תת־המרחבים של מרחב זה המכילים פולינומים ממעלה n ומטה.
• מרחב המטריצות הממשיות (או המרוכבות) בגודל נתון מעל שדה הממשיים (או המרוכבים).
• מרחב כל ההעתקות הלינאריות מעל מרחב וקטורי נתון.
• אוסף כל תת־הקבוצות של קבוצה X כלשהי הוא מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb {Z} _{2}$ , כאשר פעולת החיבור היא פעולת ההפרש הסימטרי.

תלות לינארית ופרישה

קבוצה של ווקטורים היא תלויה לינארית אם ניתן להציג ווקטור אחד מתוכה כצירוף לינארי של האחרים. קבוצה לא תלויה לינארית נקראת גם "בלתי תלויה לינארית" (או בקיצור בת"ל). פרוש (Span) של קבוצת ווקטורים הוא קבוצת כל הצירופים הלינאריים של הווקטורים בקבוצה. אומרים שקבוצת וקטורים פורשת את המרחב אם המרחב שווה לפרוש שלה.

בסיס וממד

בסיס של מרחב וקטורי הוא קבוצה בלתי תלויה של וקטורים הפורשת אותו. ממד המרחב הוא מספר הווקטורים בבסיס. מכיוון שמספר זה איננו תלוי בבחירת הבסיס (כלומר שווה בכל הבסיסים במרחב), המושג מוגדר היטב. ממד יכול להיות סופי או אינסופי.

תת־מרחב וקטורי

תת־מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת־מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת־קבוצה $\ W$ של המרחב הווקטורי $\ V$ מעל השדה $\mathbb {F}$ מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

1. $\ W$ אינה ריקה (מספיק לדעת כי $\ 0\in W$).
2. $\ W$ סגורה ביחס לחיבור. כלומר לכל $\ v,u\in W$ מתקיים $\ v+u\in W$ .
3. $\ W$ סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר לכל $\ v\in W$ ו-$\lambda \in \mathbb {F}$ מתקיים $\lambda \cdot v\in W$ .

יריעת גרסמן מקודדת את כל תת־המרחבים מממד נתון של V.

מבנים נוספים

סוגים מסוימים של מרחבים וקטוריים הם בעלי חשיבות רבה בתחומים שונים במתמטיקה. כך למשל מרחב וקטורי עם נורמה מכונה "מרחב נורמי", ומרחב וקטורי עם מכפלה פנימית מכונה "מרחב מכפלה פנימית". מרחבים אלה נחקרים רבות בעיקר במסגרת אנליזה פונקציונלית ובפיזיקה.

ראו גם

• מרחב בנך
• מרחב הילברט
• אגד וקטורי

קישורים חיצוניים

• הרצאה על תלות, פרישה בסיס וממד מתוך קורס באלגברה לינארית שניתן ב-MIT
• סימולטור להדגמה של תלות, פרישה, בסיס וממד במרחב תלת־ממדי (ומושגים נוספים באלגברה לינארית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0