משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ (או משפט שטולץ-צזארו) הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט מתקיים תחת תנאים מסוימים השוויון

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842-1905) וארנסטו צזארו (1859-1906).

ניסוח המשפט

תהא $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה כלשהי, ותהא $\{y_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to \mathrm{\infty }$ סדרה מונוטונית עולה ממש.

אם קיים הגבול במובן הרחב $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L$ , אזי גם $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=L$ .

הוכחה

נוכיח את המקרה בו $L$ סופי.

יהי $\epsilon >0$ . לפי הגדרת הגבול קיים $N$ טבעי כך שלכל $n>N$ מתקיים

$$L-\frac{\epsilon }{2}<\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}<L+\frac{\epsilon }{2}$$

כיוון שהסדרה $y_n$ מונוטונית עולה ממש, $y_{n+1}>y_n$ או $y_{n+1}-y_n>0$ וניתן להכפיל בו את אי-השוויון. נקבל:

$$(L-\frac{\epsilon }{2})(y_{n+1}-y_n)<x_{n+1}-x_n<(L+\frac{\epsilon }{2})(y_{n+1}-y_n)$$

יהי $k>N$ עבורו $y_k>0$ (בהכרח קיים $k$ כזה מפני שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת אי-השוויון לעיל לכל $N+1\le n\le k$ נקבל את אי-השוויון הבא:

$$\begin{array}{r}(L-\frac{\epsilon }{2})\sum _{i=N+1}^k(y_{i+1}-y_i)<\sum _{i=N+1}^k(x_{i+1}-x_i)<(L+\frac{\epsilon }{2})\sum _{i=N+1}^k(y_{i+1}-y_i)\\ \\ (L-\frac{\epsilon }{2})(y_{k+1}-y_{N+1})<x_{k+1}-x_{N+1}<(L+\frac{\epsilon }{2})(y_{k+1}-y_{N+1})\end{array}$$

נחלק את אי השוויון ב-$y_{k+1}>0$ ונקבל

$$\begin{array}{c}(L-\frac{\epsilon }{2})(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}})<\frac{x_{k+1}}{y_{k+1}}-\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}<(L+\frac{\epsilon }{2})(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}})\\ \\ (L-\frac{\epsilon }{2})(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}})+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}<\frac{x_{k+1}}{y_{k+1}}<(L+\frac{\epsilon }{2})(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}})+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}\end{array}$$

ברור כי $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }[(L+\frac{\epsilon }{2})(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}})+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}]=L+\frac{\epsilon }{2}$ . לכן קיים $M_1$ טבעי כך שלכל $k>M_1$ מתקיים $(L+\frac{\epsilon }{2})(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}})+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}<L+\epsilon$ .

כן ברור כי $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }[(L-\frac{\epsilon }{2})(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}})+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}]=L-\frac{\epsilon }{2}$ . לכן קיים $M_2$ טבעי כך שלכל $k>M_2$ מתקיים $(L-\frac{\epsilon }{2})(L-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}})+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}>L-\epsilon$ .

נבחר $Q=\max \{M_1,M_2,N\}$ . לפיכך לכל $k>Q$ מתקיים:

$$L-\epsilon <\frac{x_{k+1}}{y_{k+1}}<L+\epsilon \Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=L$$

דוגמאות

• נחשב את הגבול $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$ כאשר $a_n=\frac{2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{4}{3}\right)}^3+\cdots +{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n}{n}$ .

נסמן $\begin{array}{r}{x}_n=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k+1}{k}\right)}^k,y_n=n\end{array}$ . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: $y_n\to \mathrm{\infty }$ עולה ממש. כמו כן:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k=1}^{n+1}{\left(\frac{k+1}{k}\right)}^k-\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k+1}{k}\right)}^k}{n+1-n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)}^{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n+1})}^{n+1}=e$

ולכן לפי המשפט $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=e$ .

• נחשב את הגבול $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1+e\cdot a_2+e^2\cdot a_3+\cdots +e^{n-1}\cdot a_n}{e^n}$ כאשר $a_n\to e$ .

נסמן $x_n=\sum _{k=1}^n{e}^{k-1}{a}_k,y_n=e^n$ . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: $y_n\to \mathrm{\infty }$ עולה ממש. כמו כן:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k=1}^{n+1}{e}^{k-1}{a}_k-\sum _{k=1}^n{e}^{k-1}{a}_k}{e^{n+1}-e^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^n(a_{n+1})}{e^n(e-1)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{e-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{e-1}=\frac{e}{e-1}$

השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.

ולכן לפי המשפט $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_1+e\cdot a_2+e^2\cdot a_3+\cdots +e^{n-1}\cdot a_n}{e^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\frac{e}{e-1}$ .

שימושים

• הוכחת כלל לופיטל.

• בהינתן $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה מתכנסת:
  • הממוצעים המשוקללים של הסדרה מתכנסים לגבול הסדרה (זאת בתנאי שסדרת המשקולות $\{{\alpha }_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מקיימת ${\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n\to \mathrm{\infty }$).
  • הממוצע החשבוני של הסדרה מתכנס לגבול הסדרה (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
  • הממוצע ההרמוני של הסדרה מתכנס לגבול הסדרה.
    • משתי הטענות האחרונות, מאי-שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של הסדרה מתכנס לגבול הסדרה.