אינפיניטסימל

במתמטיקה, אינפיניטסימל הוא כינוי לגודל חיובי קטן לאין שיעור ("כרצוננו"). הרעיון היה מובלע בעבודתם הגאומטרית של היוונים, שיחק תפקיד מרכזי בחשבון האינפיניטסימלי של המאה ה-18, ואיבד את מקומו לטובת הפיתוח המסודר של החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-19. כיום יש תורות של אנליזה לא-סטנדרטית העושות בו שימוש. במערכות מספרים היפר-ממשיים קיימים מספרים אינפיניטסימלים.

מקור השם הוא בביטוי בלטינית חדשה מהמאה ה-17, infinitesimus, שהתייחס לאיבר ה"אחרון" בסדרה אנסופית.

בשפת היומיום, גודל אינפיניטסימלי הוא דבר קטן מעבר ליכולת המדידה, ותהי זו מדידה של זמן, מרחק, ריכוז כימי, או כל דבר אחר.

היסטוריה

המתמטיקאי הראשון שעשה שימוש באינפיניטסימלים (בלי להשתמש במושג זה) היה ארכימדס (בערך בשנת 250 לפנה"ס), למרות שהוא לא האמין בקיום של אינפיניטסימלים פיזיקליים. תכונת ארכימדס, המוגדרת בסוף מאה ה-19 על ידי אוטו שטולץ, מאפיינת מבנה סדור, שבו כל גודל קטן מכפולה של כל גודל אחר, ולכן אין בו אינפינטיסימלים.

בהודו, בתקופה שבין המאה ה-12 עד המאה ה-16, המתמטיקאי ההודי בהשקרה ומספר מתמטיקאים שעבדו בבית הספר המתמטי של מדינת קרלה בדרום הודו עשו שימוש באינפיניטסימלים במסגרת גרסה נאיבית של החשבון הדיפרנציאלי.

קפלר השתמש ברעיון של אינפיטסימל כדי למצוא שטח עיגול.

כאשר אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ פיתחו (בנפרד) את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, הם השתמשו באינפיניטסימלים. טענה טיפוסית הכוללת גדלים כאלה עשויה להתנהל כך:

נניח שגוף נמצא בכל זמן $t$ במרחק $X(t)=t^{2}$ מן הראשית. כדי למצוא את מהירותו של הגוף (שהיא הנגזרת של $f$), יהי $dt$ אינפיניטסימל. בזמן $t+dt$ הגוף נמצא במרחק $(t+dt)^{2}$ , ומכאן שבמשך הזמן $dt$ מן הזמן $t$ , הוא הספיק לעבור מרחק של $(t+dt)^{2}-t^{2}=2t\cdot dt+dt^{2}$ . אם נחלק את המרחק בזמן נקבל $2t+dt$ . אבל $dt$ קטן כרצוננו, ולכן היחס שווה ל-$2t$ .

ברקלי טען שהטענה הזו, למרות שהיא מעניינת במבט ראשון, ונותנת את התוצאה הנכונה, מבוססת על הנחות הסותרות זו את זו: אנו מחלקים ב-$\ dt$ משום שזהו גודל חיובי שונה מאפס, ואז מחליפים אותו באפס, משום שהוא אינפיניטסימלי. מסיבה זו יצא הבישוף והפילוסוף ג'ורג' ברקלי, בחיבורו "האנליסט", חוצץ נגד עצם השימוש באינפיניטסימלים.

רק במחצית השנייה של המאה ה-19, ניתן לחשבון האינפיניטסימלי בסיס מתמטי פורמלי על ידי אוגוסטן לואי קושי, קארל ויירשטראס ואחרים, באמצעות שימוש במושג הגבול המוגדר במונחי אפסילון ודלתא. במאה ה-20, נמצא שניתן לטפל באינפיניטסימלים ישירות, באופן ריגורוזי, במסגרת האנליזה הלא-סטנדרטית.

אינפיניטסימלים באנליזה לא-סטנדרטית

בין המספרים הממשיים, לכל מספר שלם $n$ יש מספר חיובי $h$ קטן מ-${\tfrac {1}{n}}$ . משפט הקומפקטיות מאפשר להפוך את סדר הכמתים, ולהסיק שקיימת מערכת מתמטית עם מספר חיובי $h$ , הקטן מכל המספרים מהצורה ${\tfrac {1}{n}}$ גם יחד. מערכת זאת הנקראת שדה המספרים ההיפר-ממשיים, מרחיבה את שדה המספרים הממשיים, והיא מהווה "מודל לא-סטנדרטי" שלהם, שבו מתקיימות כל הטענות מסדר ראשון הנכונות עבור מספרים ממשיים. המספרים הממשיים הרגילים מהווים "איברים סטנדרטיים" של המודל, ויש בו בנוסף גם איברים לא-סטנדרטיים.

באיבר הלא-סטנדרטי $h$ של המערכת החדשה אפשר לראות אינפיניטיסימל, משום שהוא קטן מכל הממשיים החיוביים. (באותה מידה המספר ${\tfrac {1}{h}}$ "גדול לאינסוף" – הוא גדול מכל המספרים הממשיים). גישה זו היא פיתוח של אברהם רובינזון, שיצר ב-1960 את האנליזה הלא-סטנדרטית.

בגישה אחרת מרחיבים את השפה, כלומר את מערכת האקסיומות, המתארת את המספרים הממשיים. מערכת אקסיומות כזו פותחה ב-1977 על ידי אדוארד נלסון, והיא נקראת IST, על-שם שלוש האקסיומות שהיא מוסיפה: Idealization, Standardization ו-Transfer. באופן הזה אפשר להגדיר אינפיניטסימלים, שהם קטנים בערכם המוחלט מכל מספר חיובי ממשי סטנדרטי.

יש גם גישות אחרות, שבהן רמות שונות של אינפיניטסימלים. כל הגישות הללו עקביות מבחינה מתמטית (במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל).

הגישה האלגברית

כדי לחקות את התכונות האלגבריות המופשטות של האינפיניטסימלים של החשבון הדיפרנציאלי, אפשר ליצור מערכת חדשה שבה יש איבר "קטן לאין שיעור" במובן שונה מזה שהוצע עד כה – האיבר הזה הוא נילפוטנט, וריבועו אפס, למרות שהוא שונה מאפס. באינפיניטסימל כזה אמנם אי-אפשר לחלק, אבל נגזרות אפשר עדיין לחשב, באמצעות גזירה אלגברית.

לקריאה נוספת

• J. Keisler "Elementary Calculus" (200) University of Wisconsin [1]
• K. Stroyan "Foundations of Infinitesimal Calculus" (1993) [2]
• Robert Goldblatt (1998) "Lectures on the hyperreals" Springer. [3]
• "Nonstandard Methods and Applications in Mathematics" (2007) Lecture Notes in Logic 25, Association for Symbolic Logic. [4]
• "The Strength of Nonstandard Analysis" (2007) Springer.[5]